常见的面积定理

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　　导语：我们一般计算图形面积都有着一定的定理，掌握好定理能够让你更加快捷的解答问题，下面小编来为大家介绍几个常见的面积定理。

　　1．一个图形的面积等于它的各部分面积的和；

　　2．两个全等图形的面积相等；

　　3．等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；

　　4．等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；

　　5．相似三角形的面积比等于相似比的平方；

　　6．等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；

　　7.任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分

　　定理应用

　　下面介绍定理及推论的一些应用:

　　例1(课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?

　　分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.

　　解曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,

　　即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.

　　例2求直线2x+y+1=0到曲线y^2－2x－2y+3=0的最短距离.

　　分析:可求与已知直线平行并和曲

　　线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.

　　解曲线可变形为(y－1)^2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方

　　程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0.∴.

　　故所求最短距离为.

　　例3当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.

　　解曲线可变形为(y+1)^2=x+1

　　(x≥－1,y≥－1),则P=1/2.直线相应地可变为y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.

　　注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.

　　例4抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.

　　解设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①,|OA|=,

　　|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y^2=x.

　　例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

　　解以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=,

　　已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

　　∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF=a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=absinθ=.

　　同学们若是能够掌握这些定理，那么你在做题的过程中，将会起到事半功倍的效果。